2017年08月24日
トポロジーの概念は、7本の橋の問題である。川によって分けられ、7本の橋があが、どの橋も2度通らず、全ての橋を渡って元の場所に戻る、という問題である。
「大栗博司（カルフォルニア工科大学教授）著：ノーベル物理学賞受賞の理論値“トポロジカルな相転移”とは、
週刊ダイヤモンド、2016.11.05」は参考になる。概要を自分なりに纏めると以下のようになる。
１．温度や圧力などの外的な環境を変えると、物質の性質が変わることを「相転移」という。摂氏ゼロ度で水は固体の氷になる。1970年代までは、相転移は「対称性」という考え方に基づいて理解されていた。
２．物質では温度や圧力を変えると、対称性が変化する。鉄の原子は一つ一つが磁石のような性質を持っている。これらの原子がある特定の方向にそろうと、鉄全体が磁石になる。磁力は特足の方向に向いているので、これは「空間の回転対称性が破れた」状態という。温度を上げていくと、ある温度で鉄原子の向きがランダムになって、磁力が失われ、どの方向から見ても同じ性質を持つ。温度を上げることで、鉄の回転対称性が回復する。
３．授賞対象となったのは、対称性とは関係のない新しい相転移現象の理論的予言である。そこに登場するのが「トポロジー」である。トポロジーの概念が最初に登場したのは、「ケーニヒスベルクの7本の橋」-の問題である。この町は、プレーゲル川によって南北に分けられており、7本の橋が架かつており、「どの橋も2度通らず、全ての橋を渡って元の場所に戻れるか」という問題が話題になった。
４．18世紀の数学者オンハルト・オイラーは、橋の配置を、頂点と辺から成る図形で置き換えて考えた。そして、このような図形では、「全ての頂点に集まる辺の数が偶数のときに限って、一筆書きで元の場所に戻れる」ことを証明した。頂点に集まる辺の数の偶奇だけが問題で、橋の位置などを少しぐらいずらしても答えが変わらないというのがトポロジーの考え方の始まりである。
５．例として、「つむじ」の問題がある。私たちの髪の毛は頭全体を覆つているわけではなく、サッカーボールに毛を生やしてなで付けると、必ず1つはつむじができるという数学の定理がある。ところが、穴の1つ開いたドーナツに毛を生やすと、つむじを作らずになで付けることができる。
６．ノーベル物理学賞では、このトポロジーの考え方を使った相転移の理論が授賞対象となった。相転移の説明で、鉄の原子は一つ一つが磁石になっているとき、2次.元の薄膜の上に並んでいる状態を考える。対祢性に基づいた相転移の埋論では、薄膜の上の原子には相転移が起きないとされていた。ところ.が、今回の受賞者となったジョン・コステルリッツとディビッド・サウレスは、このような薄膜上の原子たちが、新しいタイプの相転移を起こすことを示した。
７．右巻きと左巻きのつむじが対で発生すると、コステルリッツとサウレスは、温度を上げていくとつむじの対が増え、ある温度になると、つむじの対がばらばらに分かれて薄膜を満たしていくことを計算で示した。これが「トボロジカルな相転移」である、薄膜上では相転移は起きないと考えられていたので、大きな驚きだった。
８．サウレスは、甲元真人らと共に、量子ホール効果と呼ばれる現象も「トポロジカルな相転移」の例として説明した。また、もう一人の受賞者となったダンカン・ハルデーンは、この理論をさらに大きく発展させ、応用の幅を広げた.
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週刊ダイヤモンド、2016.11.05」は参考になる。概要を自分なりに纏めると以下のようになる。
１．温度や圧力などの外的な環境を変えると、物質の性質が変わることを「相転移」という。摂氏ゼロ度で水は固体の氷になる。1970年代までは、相転移は「対称性」という考え方に基づいて理解されていた。
２．物質では温度や圧力を変えると、対称性が変化する。鉄の原子は一つ一つが磁石のような性質を持っている。これらの原子がある特定の方向にそろうと、鉄全体が磁石になる。磁力は特足の方向に向いているので、これは「空間の回転対称性が破れた」状態という。温度を上げていくと、ある温度で鉄原子の向きがランダムになって、磁力が失われ、どの方向から見ても同じ性質を持つ。温度を上げることで、鉄の回転対称性が回復する。
３．授賞対象となったのは、対称性とは関係のない新しい相転移現象の理論的予言である。そこに登場するのが「トポロジー」である。トポロジーの概念が最初に登場したのは、「ケーニヒスベルクの7本の橋」-の問題である。この町は、プレーゲル川によって南北に分けられており、7本の橋が架かつており、「どの橋も2度通らず、全ての橋を渡って元の場所に戻れるか」という問題が話題になった。
４．18世紀の数学者オンハルト・オイラーは、橋の配置を、頂点と辺から成る図形で置き換えて考えた。そして、このような図形では、「全ての頂点に集まる辺の数が偶数のときに限って、一筆書きで元の場所に戻れる」ことを証明した。頂点に集まる辺の数の偶奇だけが問題で、橋の位置などを少しぐらいずらしても答えが変わらないというのがトポロジーの考え方の始まりである。
５．例として、「つむじ」の問題がある。私たちの髪の毛は頭全体を覆つているわけではなく、サッカーボールに毛を生やしてなで付けると、必ず1つはつむじができるという数学の定理がある。ところが、穴の1つ開いたドーナツに毛を生やすと、つむじを作らずになで付けることができる。
６．ノーベル物理学賞では、このトポロジーの考え方を使った相転移の理論が授賞対象となった。相転移の説明で、鉄の原子は一つ一つが磁石になっているとき、2次.元の薄膜の上に並んでいる状態を考える。対祢性に基づいた相転移の埋論では、薄膜の上の原子には相転移が起きないとされていた。ところ.が、今回の受賞者となったジョン・コステルリッツとディビッド・サウレスは、このような薄膜上の原子たちが、新しいタイプの相転移を起こすことを示した。
７．右巻きと左巻きのつむじが対で発生すると、コステルリッツとサウレスは、温度を上げていくとつむじの対が増え、ある温度になると、つむじの対がばらばらに分かれて薄膜を満たしていくことを計算で示した。これが「トボロジカルな相転移」である、薄膜上では相転移は起きないと考えられていたので、大きな驚きだった。
８．サウレスは、甲元真人らと共に、量子ホール効果と呼ばれる現象も「トポロジカルな相転移」の例として説明した。また、もう一人の受賞者となったダンカン・ハルデーンは、この理論をさらに大きく発展させ、応用の幅を広げた.
