2019年09月07日

100までの素数は25個、2、3、5、7……と97まで、ちょうど25個並べて書いた。素数のリストには間違いがあった。「91」を素数としてしまった。


「加藤文元(東京工業大学教授):登場頻度は気まぐれなのに意外な法則がある素数の魅力、週刊ダイヤモンド、2019.7.20」は面白い。概要を自分なりに纏めると以下のようになる。
1.数学者は数学で間違うことはないと、多くの人は思うかもしれない。しかし、人間誰しもミスはある。最近の筆者の著書「宇宙と宇宙をつなぐ数学 IUT理論の衝撃』(KADOKAW)で、100以下の素数を順に並べる箇所があった。素数とは1と自分自身しか約数を持たない、2以上の自然数.のことである。100までの素数は25個と知っていたので、2、3、5、7……と97まで、ちょうど25個並べて書いた。ところが筆者が本に書いた素数のリストには間違いがあった。なんと「91」を素数として入れてしまっていた。91は7×13なので素数ではない。うっかりそれに気付かず書いてしまった。「91はブンゲン素数」素数ではないものを書いてしまい、しかも個数が正しかったのだから、どれか本物の素数を忘れていたことになる。実際、47という素数を書き忘れていた。このことに初版の刊行までうかつにも気付かず、出版後に読者のツイートで初めて知った。読者の指摘を受け、私は次のようなツイートを返した。「91はブンゲン素数になりました」。
2.このツイートの意味は、その昔、グロタンディークというフランスのすごい数学者がいて、この人が素数で似たような間違いをした。抽象的な数学の構築で有名なグロタンディークはあるとき、「ρを素数とする」と議論を始めた。そこで聞き手が「具体的な素数で話してくれ」と頼んだところ、「じゃ、57にしよう」と答えた。57は3x19なので素数ではない。でも、ついつい素数に見えてしまいそうな数だ。そこで、コすごい数学者の初歩的ミス」という「ギャップ萌え〃的なエピソードから、57は「グロタンディーク素数」と呼ばれ、堂々の「名誉素数」になった。筆者はすごい数学者ではないから、グロタンディークと肩を並べる気は毛頭ないが、91を素数としてしまったことがこのエピソードに似ていて、面白いと思ったので、ジヨークのつもりで「ブンゲン素数」と呼んだ。「ブンゲン」は、筆者の名前「文元」を音読みした。ところが、これがツイッターの数学ファンたちの間でちょっと有名になった。
3.素数には語り尽くせない魅力がある。どんな自然数も、素数の掛け算の形に、1通りに、分解されるというのが「素因数分解定理」である。その意味では、素数とは自然数を構成している「素粒子」のようなものである。そしてその一つ一つが、それぞれの顔を持っている。とはいえ、素数はつかみどころのない、気まぐれな存在でもある。1、2、3……と続く自然数の中で、素数が現れるタイミングには規則性があるようには思えない。
4.11と13や、1229と1231のように2だけ離れている、いわゆる「双子素数」というものもあれば、887という素数のすぐ次の素数は20も離れた907だったりすることもある。実際、素数がどのような頻度で現れるのかという「素数分布」の問題は、最高の難問とも呼ばれるリーマン予想(いわゆるミレニアム問題の1つ)に直結した、数学上の最大の謎の一つでもある。中学生にも分かる数の概念で、これほどまでに深いからこそ素数は多くの人を魅了してきた。
5.素数オタクは、自分の「推し素数」を持っている。乃木坂46は46人しかいないが、素数は無限にあるので、いくらでも自分の好きな素数を探す旅を続けることができる。そこにも、素数の魅力はある。写経ならぬ「写素数」をする人たちもいる。毎朝、きれいな心で100までの素数を2、3、5、7……と1個ずつ書いていくという、一種の「修行」である。心が乱れていると、書き上げた素数の数は25個にならない。やってみると、なかなか25個にならない。そして、ちょうど25個になっても、筆者のような聞違いをしていることも多い。
6.100までの素数の個数は25個なのだが、1000までに素数は168個あり、1万までには1229個ある。10までの素数が4個であることを併せて考えると、素数の出現する割合は、0・4、0・25、0・168、0・1229と減っていくことが分かる。素数は無限に多く存在するが、その現れる頻度は徐々に減っていく。その分布の様子はどうなっているかが、素数分布の問題である。中でも有名なのが、「ガウスの素数定理」(ガウスにょって予想され、19世紀末にプーサンとアダマールによって証明された)と呼ばれている定理で、それによると、素数の出現割合は自然対数の逆数で近似できる。
7.一つ一つの素数はそれぞれに顔を持ち、それぞれに魅力的だが、素数の全体的な振る舞いにはこうした意外な法則性がある。素数たちが協力して意外な振る舞いをする姿は、他にも見受けられる。各素数の2乗の逆数を1から引いて、その逆数を素数全てにわたって掛け算する。そうすると、不思議なことに、円周率πの2乗を6で割った数になることが証明できる。素数が集まって、円周率のような数を作り出すところに、深い意外性がある。
8.先述したように、差が2である素数の組は、双子素数と呼ばれる。双子素数の組が無限にあるか否かというのは、双子素数問題と呼ばれ、数学上の難問の一つである。最近、張益唐という数学者が、この問題について人きな進展をもたらした。それによると、隣合った素数の組で、その差が7000万よ小さいものは無限に多く存在する。この「差」は現在、その後の数学看たちの研究によって246まで狭められている。すなわち、隣合った素数の組で、その差が246以下であるものが無限に多く存在する。
9.かくも素数は清らかで、奥深く、難しい。そして素因数分解の計算の量的困難さが、暗号のセキュリティーを支えているように、社会の中でも重要な存在である。素数はわれわれの身近にある数の素粒子である。


yuji5327 at 06:39 
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工学博士、技術士(応用理学)、
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池上湖心 プロフィール
○略歴
大東文化大卒、
在学中 上條信山に師事
書象会に所属、書象会理事
審査会々員
○作品展の開催
・主宰している「さざ波会」
 作品展を毎年8月開催
(於:稲毛ギャラリー)
・土曜会(グループ展)
 作品展を毎年10月開催
(於:銀座大黒屋)
○公募展の受賞、入選
・日展入選
・読売書法展(現在理事)
 読売奨励賞
 読売新聞社賞
・謙慎展(現在理事)
 春興賞の受賞:2回
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