2020年06月04日
一つの「数学」では、足し算と掛け算は固く結び付いている。ゴリ押しすると、矛盾が起こる。複数の数学で矛盾を回避する。
「加藤文元（東工大教授）著：超難問のABC予想を証明・望月教授のIUT理論の衝撃 週刊ダイヤモンド 2020.05.30」は面白い。概要を自分なりに纏めると以下のようになる。
１．４月3日、新型コロナウイルスの感染拡大で閉塞感の漂う中、数学界のビッグニュースが日本を駆け巡った。京都大学数理解析研究所の望月新一教授が構築した型宙際タイヒミユラー理論(IUT理論この論文が、ついに数学の専門雑誌「PRIMS」に受理.されたという内容である。このニュースがメディアでも大きく取り上げられたのは、IUT理論によって、数学の整数論における最も重要な予想問題の一つであった「ABC予想」が解決するからである。
２．ABC予想とは a＋ｂ＝ｃとなる3つの自然数(2以上の公約数を持たない)を巡る予想である。aとbとcを掛け算したものを素因数分解し、登場する異なる素数を1回ずつ掛け算したものをdとする。大抵の場合はdの方がcより大きい。しかし、まれにdの方がcよ小さくなることがある。
３．例えばa¬=7、b=9とするとcは16だ。そしてabc=2×2×2×2×3×3×7なので、d=2×3×7=42となり、確かにdの方がcより大きい。他のaやbで計算してみるのもよい。高尚な暇つぶしにもいい。いろいろと試してみて、dの方がeより小さい場合に出くわしたら、幸運である。大抵の場合はdの方が大きいからである。dの方が小さいという「例外」が、実際に少ないということを数式で正確に記述できるとするのがABC予想である。
４．この予想は一見、単なる数遊びのようにも見える。しかし実はとても難しく、とても深い問題である。そして、この問題は整数論における多くの難問と密接に関係している。ABC予想の解決は、これらの問題の多くを一挙に解決に導く、とてもインパクトの大きい事件である。
５．ABC予想が難しい理由は、数の世界の足し算的側面と掛け算的側面の絡み合いに、真止面から対峙するからである。数には足し算と掛け算という、2つの演算がある。足し算を基調にして考えると、自然数は単純である。「1」をどんどん足していけば、どんな自然数も作れる。しかし、掛け算的な側面から考えると自然数は複雑である。どんな自然数も素数の積に分解できるから、素数が基本になる。
６．しかし、素数は無限に多く存在する。さらに、この2つの側面の関係は、もっと複雑である。ある素数に幾つ1を足したら次の素数になるのか、そんな法則はとても分かりそうにない。高度に進んだ現代数学をもってしても、こればかりは無理である。足し算と掛け算の関係は複雑過ぎて、到底分からないとしか言いようがない。先に述べた数「c」はaとbの足し算でできるが、数「d」は掛け算a×b×cの素因数分解を使って計算される数である。前者が足し算的側面の代表選手ならば、後者は掛け算的側面の代表選手である。７．そしてABC予想は、これら2つの数の間の大小という関係を問題にしている。まさに、数の世界の足し算的側面と掛け算的側面の複雑怪奇な絡み合いに、がっぷり4つに取り組んでいる。ABC予想は数の世界の深層を暴こうとしている。だから、望月教授による今回の業績でも、ABC予想を解決に導くために、「足し算と掛け算の関係」という数の世界の深層を相手にしなければならない。
８．数という簡単そうで極めて深い対象の、これほどまでに根本的な構造にメスを入れた人は、もしかしたら人類史上でも望月教授が初めてかもしれない。望月教授が今回の論文を発表したのは、2012年8月。発表直後に論文はPRIMSに投稿されたが、受理されるまでに7年半もの時聞を要した。7年半という時間は、数学の大論文のものとしては最長ではないと思われるものの、やはりそれでも長い時間である。それもそのはず、この論文が提唱するIUT理論は、数学のやり方を抜本的に変革するものだからである。
９．望月教授が提唱したIUT理論の真骨頂は、整数や有理数などを含めた「数体」と呼ばれる対象に対する「手術」を行うことで、この「足し算と掛け算」の間の複雑な絡み合いを破壊することにある。足し算と掛け算をバラバラの形で変形させ、これを再度縫合して〔できるだけ)元に戻すということをする。それが可能なのは、IUT理論は非常に高度な理論なので、その全容を一言で述べることは筆者の力量を超えている。しかし、その理論の底に流れる思想的側面には、ある種の自然性を見いだすことができる。本論文の著書『宇宙と宇宙をつなぐ数学」(KADOKAWA)では、この自然なアプローチのありさまを、全ての人々に分かるようにかみ砕いて説明することを試みた。そのかいもあってか、この本は刊行以来、この手のものとしては異例の話題を呼び、今でも多くの人たちに読まれている。
１０．かみ砕いて言うと、足し算と掛け算をバラバラにするには、数学に新しい柔軟性が必要になる。それまで「堅い」と思われてきた足し算と掛け算の関係を、柔らかくする方法が必要である。そのために、IUT理論は複数の数学的「宇宙」を考える。宇宙とは、その中で普通の数学ができる環境一式である。
１１、一つの「数学」の中では、足し算と掛け算は 一蓮托生に固く結び付いていて、どうしようもない。そこをゴリ押しすると、たちまち矛盾が起こる。だから、複数の数学にまたがって議論することによって矛盾を回避する。そういう新しい柔軟性をIUT理.論は作り出している。そういう突拍子もないことを、IUT理論は考える。だからこの理論は、従来の数学がやってこなかったような、とてもデリケートで精密なやり方を、数学に要求している。IUT理論が提案する数学の革命と、それが及ぼす影響については、別の機会に解説する。
